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江蘇省南京、鹽城市2014屆高三第二次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2014.03
注意事項：1．本試卷共160分考試時120分鐘．
2．答題前，務(wù)必將自己的班級、寫在答題考試結(jié)束后，交回答題．
公式：V＝中S為式：SπRh，其中為一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）
1．函數(shù)＝＋的定義域為
2．(i為虛數(shù)單位，aR)．若z1z2為實數(shù)，則a的值為 ▲ ．
3．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[300，350)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)共有 ▲ ．
4．
5．a(chǎn)n}的公差d不為0，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則的值為 ▲ ．
6．執(zhí)行如圖所示的程圖，則輸出的的值
7．(ωx＋φ)(ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π))的．－＝1(a＞b＞0)2＝4x的準(zhǔn)線相交于A，B兩點．若△AOB的面積為2，則雙曲線的離心率為 ▲ ．
9．π的圓柱，當(dāng)其體積最大時，該圓柱的底面半徑與高的比為
10．已知||＝1，||＝，＝＝，則的為 ▲ ．
1．(5，3)作直線l與圓x2＋2＝
12．＞為 ▲ ．
1．在中，，則實數(shù)的取值范圍
14．＝＋＋＝為
二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15．(本小題滿分14分)
如圖，四棱錐－中，為矩形，平面平面， BP＝為的中點
（1）求證：平面；
（2）求證：平面．
16．(本小題滿分14分)
α的頂點是坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交
于點A(x1 ，y1 )，α∈(，α終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點B(x2，y2)．
（1）若x1＝，求x2；
（2）過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記△AOC及
△BOD的面積分別為S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．17．(本小題滿分14分)
如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．
18． (本小題滿分16分)
已知橢圓C∶＋＝1(a＞b＞0)焦點為焦距為，準(zhǔn)線方程為＝2
（1）求橢圓的方程；(0，b)，求過P，Q，F(xiàn)2三點的圓的方程；
（3）若＝λλ∈[，·的最大值．19．(本小題滿分16分)
已知函數(shù)f(x)＝R，且a＞
（1）＝＝，求函數(shù)的極值
（2）設(shè)g(x)＝(x－)ex－f(x)．
① 當(dāng)a＝，(0，＋)，都有g(shù)(x)≥1成立，求的值
② 設(shè)g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x＞1使g(x)＋g′(x)＝成立，求的取值范圍
20．(本小題滿分16分)
n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）設(shè)a1＜n∈N*，且n≥2，都有＜ 南京市2014屆高三 2014.03
注意事項：1．本試卷共．答題前，務(wù)必將自己的班級、寫在答題考試結(jié)束后，交回答題．答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4—1：幾何證明選講
如圖△ABC為圓的內(nèi)接三角形＝為圓的弦且∥AC．過點作圓的切線與的延長線交于點與交于點
（1）求證：四邊形ACBE為平行四邊形；＝＝CF的長.
B．選修4—2：矩陣與變換
的一個特征值為2，其對應(yīng)的一個特征向量為α＝．
（1）求矩陣A；
（2）若A＝，求x，y的值．
C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，(＝2cosθ關(guān)于直線θ＝(()對稱的曲線的極坐標(biāo)方程．
D．選修4—5：不等式選講
已知R，且|x＋，|x－，求證：|x＋
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．（本小題滿分10分）
某申請AB，C三每位申請其中一，且申請其中是等可能的（）求有2人申請A的概率（）申請個數(shù)分布列與期望(X)．
23．（本小題滿分10分）
n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)＝5，且滿足：
①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．
（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；
（2）求f(n)的表達式．
參考答案
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.
1(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1
8． 9． 10．60° 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]
二、解答題15．證：（1）設(shè)AC連結(jié)
因為ABCD為矩形，所以O(shè)是的中點是中點平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分
（2）平面平面平面平面＝
所以BC⊥平面平面
因為PB⊥PA，BC∩PB＝，平面PBC，
所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分
因為BE平面
因為BP＝，平面PAC，
所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分
16．，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分所以x2＝cos(α＋)＝αcos－αsin＝－
解法二：因為x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，則＝(，)，…………2分＝·＝|||cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分
又x22＋y22＝1，聯(lián)立消去y2得50 x22－30x2－7＝0
解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分
解法三：因為x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分α＋)＝＝－7，所以直線OB的方程為y＝－7x ……………4分
由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分
因為α(，)，所以α＋()．
所以S2sin(α＋)(α＋)＝－(2α＋)＝－α．……………………………10分
因為S1＝S2，所以α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分
所以＝－，解得tanαα＝－． 因為α(，)，所以tanα＝2．………14分
解：設(shè)∠AMN＝θ，在△A＝．
因為MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分
＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，°)． …………………………………………12分
當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：設(shè)計∠AMN為60(時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�……………………………………14分
解法二(構(gòu)造直角三角形)：
設(shè)∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥時，結(jié)論也正確)．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)12分
當(dāng)且僅當(dāng)2θ－＝，即θ＝時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此時AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分
解法三：設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，∠AMN＝α．
在△AMN中，因為MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分
因為＝，即＝，
所以sinα＝y(tǒng)，cosα＝＝＝． …………………………………………6分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分
因為x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時，AP取得最大值2．
答：設(shè)計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�………………………………14分
解法四(坐標(biāo)法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，
∴(x1－x2)2＋3x＝4． …………………………………………2分
MN的中點K(，x2)．
∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
∴PK2＝－＋－＝·kPK＝－·＝－1， …………………………………………6分
∴y0－＝－∴(y0－＝－∴(1＋－＝(x0－＝∴(x0－＝．
∵x0－∴x0－x2，
∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分
∴AP2＝x＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
即AP≤2．
答：設(shè)計AM＝AN＝2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�…………………………14分
解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．
∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2
∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分
∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到．
＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1
試題匯總頻道：
2014鹽城二模各科考試試題：
http://yunyouxuan.cn/zt/yanchengermo/
2014南京二模各科考試試題：
http://yunyouxuan.cn/zt/nanjingermo/
2014淮安三模各科考試試題：
http://yunyouxuan.cn/zt/huaiansanmo/
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) http://yunyouxuan.cn/math/
