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2014年
宜昌二調(diào)考試?yán)砜?a href='http://yunyouxuan.cn/math/' target='_blank'>
數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)全集，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
3．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，且它們正相關(guān)，則其線性回歸直線的斜率為正
B．直線垂直于平面的充要條件為垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線
C．若隨機(jī)變量，且，則
D．已知命題，則
4．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線，其右焦點(diǎn)為，且到其中一條漸近線的距離為，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
5．一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正方形，側(cè)視圖是等腰三角形，則該幾何體的表面積為（ ）
A．158 B．108 C．98 D．88
6．已知不等式的解集為，則二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．-15 B．15 C．-5 D．5
7．若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，則的值可能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
8．設(shè)點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．已知是非零向量，它們之間有如下一種運(yùn)算：，其中表示的夾角．給出下列命題：
①；②；③；
④；⑤若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知直線和圓，點(diǎn)在直線上，為圓上兩點(diǎn)，在中，，過(guò)圓心，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分．
（一）必考題（11—14題）
11．直線的傾斜角為，則的值為 ．
12．某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是 ．
13．一物體在力（單位：）的作用下，沿著與力相同的方向，從處運(yùn)動(dòng)到處（單位：），則力所做的功為 ．
14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)組成集合，從集合中任�。ǎ﹤�(gè)數(shù)，其所有可能的個(gè)數(shù)的乘積的和為（若只取一個(gè)數(shù)，則規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記．例如：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
則，（1） ；（2） ．
（二）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你多選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選，則按第15題做答結(jié)果計(jì)分．）
15．（選修4—1：幾何證明選講）如圖，在中，是的平分線，的外接圓交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為 ．
16．（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)為曲線（為參數(shù)）上一點(diǎn)，則的最小值為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
（1）求角的大�。�
（2）求的最大值．
18．（本小題滿分12分）數(shù)列的前項(xiàng)和記為．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，若等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，又、、成等比數(shù)列，求．
19．（本小題滿分12分）某公司從某大學(xué)招收畢業(yè)生，經(jīng)過(guò)綜合測(cè)試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業(yè)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示（單位：分），公司規(guī)定：成績(jī)?cè)?80分以上者到“甲部門”工作，180分以下者到“乙部門”工作，另外只有成績(jī)高于180分的男生才能擔(dān)任“助理工作”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“甲部門”人選和“乙部門”人選中選取8人，再?gòu)倪@8人中選3人，那么至少有一人是“甲部門”人選的概率是多少？
（2）若從所有“甲部門”人選中隨機(jī)選3人，用表示所選人員中能擔(dān)任“助理工作”的人數(shù)，寫(xiě)出的分布列，并求出的
數(shù)學(xué)期望．
20．（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中，，平面，為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）在上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，試確定的位置，并求此時(shí)二面角的大�。�
21．（本小題滿分13分）已知橢圓的焦距為2，且與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)），直線相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一條定直線上．
22．（本小題滿分14分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知均為正實(shí)數(shù)，且，求證：
．
宜昌市201屆高12345678910答案DCABDBACBD10、設(shè)，則圓心到直線的距離，由直線與圓相交，得．解得
二、填空題
11、 12、 13、 14、（1）（2） 15、 16、
三、解答題
17、（Ⅰ）由正弦定理
即 3分
由余弦定理得 ∵ ∴ 5分
（Ⅱ）由（1）得
則 7分
10分
∵ ∴
∴當(dāng)即時(shí)，有最大值 12分
18、（）由，可得，
兩式相減得
∴當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列
要使時(shí)，是等比數(shù)列，則只需，從而．
（）設(shè)的公差為，由得，于是
故可設(shè)，又，
由題意可得
解得
∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，∴
∴．
19、（Ⅰ）用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率為
根據(jù)莖葉圖，甲部門人選人，乙部門人選人
∴選中的甲部門人選有人，乙部門人選有人 3分
用表示“至少有一名甲部門人選被選中”，則它的對(duì)立事件表示“沒(méi)有一名甲部門人選被選中”，則
故至少有一人是“甲部門”人選的概率是 5分
（Ⅱ）依題意，所選畢業(yè)生中能擔(dān)任“助理工作”的人數(shù)的取值分別為 6分
10分
∴的分布列為
∴ 12分
20、（Ⅰ）∵ ∴四邊形為正方形 ∴ 2分平面 ∴ ∴面 ∴ 4分中，
∴平面 5分，
∵為的中點(diǎn)，且 ∴
又∵平面 ∴
∴
在中，由余弦定理得
即
∴ 即是的中點(diǎn) 9分
∵、分別為、的中點(diǎn) ∴
∵平面 ∴平面
又∵平面 ∴平面平面 11分
故二面角的大小為 12分
21、（Ⅰ）∵橢圓的焦距為 ∴ 且
于是橢圓方程為
將代入得 2分
∵直線與橢圓相切 ∴
即 ∵ ∴ 則
故所求橢圓方程為 4分
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為
聯(lián)立方程得
∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)
∴
由韋達(dá)定理得 6分
則
又在的右側(cè) ∴ 8分 ∴
設(shè)直線、相交于點(diǎn) 由上面兩直線方程消去得
12分在定直線上。 13分時(shí)， 則
則
∴函數(shù)的圖像在時(shí)的切線方程為 3分在上單調(diào)遞增 ∴在上無(wú)解
當(dāng)時(shí)，在上無(wú)解滿足
當(dāng)時(shí)，只需 ∴ ① 5分
∵函數(shù)在上單調(diào)遞增 ∴在上恒成立
即在上恒成立
設(shè)
∵ ∴ 則在上單調(diào)遞增
∴在上的值域?yàn)? 7分在上恒成立 則 ②
綜合①②得實(shí)數(shù)的取值范圍為 9分（）時(shí)，在上單調(diào)遞增 10分時(shí)，
當(dāng)時(shí)， 12分 即，
同理有，
三式相加得 14分
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