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陽光高考提供：2013年新課標版高考
數學押題卷 30道選擇題20道非選擇題
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數學押題卷 30道選擇題20道非選擇題
一．選擇題（30道）
1.設集合 ， ，若 ，則 的值為（ ）
A．0 B．1 C． D．
2. 已知 是實數集，集合 ， ，則 ( )
A. B.
C. D.
3.已知i為虛數單位，則復數 等于（ ）
A．-1-i B．-1+i C．1+i D．1—i
4.復數 在復平面上對應的點不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. “ ”是“方程 表示焦點在y軸上的橢圓”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條
6.若命題“ R，使得 ”為假命題，則實數m的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.一個算法的程序框圖如右，則其輸出結果是（ ）
A.0 B.
C. D.
8.下面的程序框圖中，若輸出 的值為 ，則圖中應填上的條件為（ ）
A． B． C． D．
9.右圖是函數 在區(qū)間
上的圖象．為了得到這個函數的圖象，只需將
的圖象上所有的點（ ）
A．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標
縮短到原來的 倍，縱坐標不變
B．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
C．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變
D．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
10.已知 則 的值（ ）
A．隨著k的增大而增大
B．有時隨著k的增大而增大,有時隨著k的增大而減小
C．隨著k的增大而減小
D．是一個與k無關的常數
11.關于函數 的四個結論:
P1:最大值為 ;
P2:最小正周期為 ;
P3:單調遞增區(qū)間為 Z;
P4:圖象的對稱中心為 Z.其中正確的有（ �。�
A．1 個 B．2個 C．3個 D．4個
12. 是兩個向量， ， ，且 ，則 與 的夾角為（ ）
（A） （B） （C） （D）
13.已知a,b是兩個互相垂直的單位向量,且c•a=c•b=1,,則對任意正實數t, 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則它的體積為（ ）
A． B．
C． D．
15．正方形 的邊長為 ,中心為 ,球 與正方形 所在平面相切于 點,過點 的球的直徑的另一端點為 ,線段 與球 的球面的交點為 ,且 恰為線段 的中點,則球 的體積為（ �。�
A． B． C． D．
16.不等式組 表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則 的值為（ ）
Ａ. B. C. D.
17.設函數 ， . 若當 時，不等式 恒成立，則實數 的取值范圍是 （ ）.
A. B. C. D.
18.如圖，在邊長為2的正方形內隨機取一個點，則此點在正方形的內切圓內部的概率為（ ）
A． B． C． D．
19、將一骰子拋擲兩次，所得向上的點數分別為 和 ，則函數 在 上為增函數的概率是（ ）
A． B. C. D.
20、某單位為了解用電量 度與氣溫 之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：
氣溫（ ）
18 13 10 -1
用電量（度） 24 34 38 64
由表中數據得線性回歸方程 中 ，預測當氣溫為 時，用電量的度數約為（ ）
A.68 B.79 C.65 D.80
21、某校從參加高二年級學業(yè)水平測試的學生中抽出100
成績分組區(qū)間是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），
[80,90) ,[90,100]．則成績在[80 ,100]上的人數為（ ）
A70 B 60 C 35 D 30
22、已知等差數列 的公差和首項都不等于0，且 成等比數列，則 （ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
23、設等比數列 的公比為 ，前 項和為 ，且 ．若 ，則 的取值范圍是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
24. 已知 分別是雙曲線 的左、右焦點,過 且垂直于 軸的直線與雙曲線交于 兩點,若 是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是 （ �。�
A． B． C． D．
25．圓 －2x＋my－2＝0關于拋物線 ＝4y的準線對稱，則m的值為（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
26．已知拋物線 的焦點到準線的距離為 , 且 上的兩點 關于直線 對稱, 并且 , 那么 = （ �。�
A． B． C．2 D．3
27．如果函數 圖像上任意一點的坐標 都滿足方程 ，那么正確的選項是（ ）
(A) 是區(qū)間（0， ）上的減函數，且
(B) 是區(qū)間（1， ）上的增函數，且
(C) 是區(qū)間（1， ）上的減函數，且
(D) 是區(qū)間（1， ）上的減函數，且
28．定義在R上的奇函數 ，當 ≥0時， 則關于 的函數 （0＜ ＜1）的所有零點之和為（ ）
（A）1- （B） （C） （D）
29．已知 在 處取最大值，以下各式正確的序號為 （ ） ① ② ③ ④ ⑤
A． B． C． D．
30．已知函數 ，則對任意 ，若 ，下列不等式成立的是( )
（A） （B）
（C） （D）
二．填空題（8道）
31.已知A ,B(0,1)),坐標原點O在直線AB上的射影為點C,則 = .
32.若直線 是曲線 的切線，則實數 的值為 .
33.若實數 、 滿足 ，且 的最小值為 ，則實數 的值為__
34.已知四 面體 的 外接球的球心 在 上,且 平面 , , 若四面體 的體積為 ,則該球的體積為_____________
35.在區(qū)間 內隨機取兩個數a、b， 則使得函數 有零點的概率
為 。
36.公比為4的等比數列 中,若 是數列 的前 項積,則有 也成等比數列,且公比為 ；類比上述結論，相應的在公差為3的等差數列 中，若 是 的前 項和，則有一相應的等差數列，該等差數列的公差為_____________.
37．在 中,角 所對的邊分別為 ,且 ,當 取最大值時,角 的值為_______________
38.已知拋物線 的準線為 ,過點 且斜率為 的直線與 相交于點 ,與 的一個交點為 ,若 ,則 等于____________
三．解答題（12道）
39、 中， ， ， 分別是角 的對邊，向量 ， , ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
40、已知等差數列 的首項 ，公差 ．且 分別是等比數列 的 ．
（Ⅰ）求數列 與 的通項公式；
（Ⅱ）設數列 對任意自然數 均有 … 成立，求 … 的值.
41、（本小題滿分12分）
為了了解甲、乙兩名同學的
數學學習情況,對他們的7次
數學測試成績（滿分100分）進行統(tǒng)計，作出如下的莖葉圖，其中 處的數字模糊不清．已知甲同學成績的中位數是83，乙同學成績的平均分是86分.
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）現從成績在［90，100］之間的試卷中隨機抽取兩份進行分析，求恰抽到一份甲同
學試卷的概率．
42、十一黃金周，記者通過隨機詢問某景區(qū)110名游客對景區(qū)的服務是否滿意，得到如下的列聯表：性別與對景區(qū)的服務是否滿意 單位：名
男 女 總計
滿意 50 30 80
不滿意 10 20 30
總計 60 50 110
(1)從這50名女游客中按對景區(qū)的服務是否滿意采取分層抽樣，抽取一個容量為5的樣本，問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名？
(2)從(1)中的5名女游客樣本中隨機選取兩名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率；
(3)根據以上列聯表，問有多大把握認為“游客性別與對景區(qū)的服務滿意”有關
附：
P( )
0.050 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
43、如圖在四棱錐 中,底面 是邊長為 的正方形,側面 底面 ，且 ,設 、 分別為 、 的中點．
(Ⅰ) 求證： //平面 ；
(Ⅱ) 求證：面 平面 ；
44、已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為 .
(1)求橢圓 的標準方程;
(2)設不過原點 的直線 與橢圓 交于兩點 、 ，且直線 、 、 的斜率依次成等比數列，求△ 面積的取值范圍.
45. 已知拋物線 的焦點坐標為 ，過 的直線交拋物線 于 兩點，直線 分別與直線 ： 相交于 兩點.
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
46.已知函數f (x)＝x3＋ (1－a)x2－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 設(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．
47.已知函數
(I)討論 的單調性;
(II)若 有兩個極值點 和 ,記過點 的直線的斜率為 ,問:是否存在 ,使得 若存在,求出 的值,若不存在,請說明理由.
48.選修4-1:幾何證明選講.
如圖，過圓E外一點A作一條直線與圓E交B,C兩點，且AB= AC,作直線AF與圓E相切于點F，連接EF交BC于點D,己知圓E的半徑為2， =30.
(1)求AF的長.
(2)求證：AD=3ED.
49. 在直角坐標系中,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建坐標系.已知曲線 ,已知過點 的直線 的參數方程為： ，直線 與曲線 分別交于 兩點.
（1）寫出曲線 和直線 的普通方程；
（2）若 成等比數列,求 的值．
50. 選修4-5：不等式選講
設
（1）當 ，求 的取值范圍；
（2）若對任意x∈R， 恒成立，求實數 的最小值．
【參考答案與解析】
一． 選擇題（30道）
1. 【答案】A
2. 【答案】D
【點評】集合問題是高考必考內容之一，題目相對簡單.集合的表示法有列舉法、描述法、圖示法三種，高考中與集合的運算相結合，不外乎幾種題型。側重考查簡單的不等式的有關知識。
3. 【答案】A
4. 【答案】A
【點評】3、4題考查的是復數有關知識。復數主要內容有：復數的四則運算、復數的模、共軛復數、復平面、復數概念等，文科一般都只考簡單的復數除法運算，且比較常規(guī)化。
5.【答案】C
6.【答案】A
【點評】上面5、6題是簡易邏輯的內容，簡易邏輯內容有：命題的或、且、非；四種命題；充分、必要條件；全稱命題和特稱命題。作為高考內容的重要組成部分，也是各省高考常見題型，特別是對充分、必要條件與全稱命題和特稱命題的考查。單獨考查簡易邏輯相關的概念不多見，按照近幾年
高考真題的特點來講，結合其他知識點一同考查是總趨勢，
如5題。一般和不等式相結合的也時有出現，如6題。
7.【答案】C
8.【答案】B
【點評】7,8題考查的內容是程序框圖。程序框圖題型一般有兩種，一種是根據完整的程序框圖計算，如題7；一種是根據題意補全程序框圖，如題8.程序框圖一般與函數知識和數列知識相結合，一般結合數列比較多見，特別經過多年的高考，越來越新穎、成熟。
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】C
【點評】根據三角函數的圖像確定三角函數的解析式是綜合考察三角函數知識的掌握程度的重要手段，再結合三角函數圖象的平移問題，使得這種題型�？汲Ｐ�，作為中檔題是歷年高考考察的重點，如9題；三角函數求值是歷年高考的常考點，應用三角函數恒等變換化簡式子并引入參數是一種創(chuàng)新題型，知識的綜合程度較高，或許這種題型在未來幾年的高考中會出現，如10題；結合三角函數的恒等變換，綜合分析函數的性質，是對三角函數知識點的綜合考察，要求知識的掌握程度為中等，歷年高考對三角函數知識點的考察亦以中檔容易為主，如11題。
12.【答案】C
13.【答案】B
【點評】向量的數量積是高考的必考點，多以容易和中檔題目出現，常以求向量的模、夾角來考察該知識點，如12題；有時也以函數、解三角形或不等式結合綜合考察求最值問題，如13題。
14.【答案】B
15.【答案】B
【點評】14題中，三視圖是新課標新增內容，在歷年高考中都成為各地高考試卷出題的必考內容，多以求體積或表面積為主，本知識著重考察空間想象力和計算求解能力；在立體幾何知識的考察中近幾年多以三視圖或與球結合的綜合問題，對球的考察以球的體積或表面積為問題設置點，利用空間線面關系確定相應一些數量求解，如15題。
16.【答案】D
17.【答案】A
【點評】不等式的考察中，有不等式的性質、線性規(guī)劃、基本不等式、簡易邏輯，常以函數、數列、向量相結合考察。16題中線性規(guī)劃求參數問題也許在未來的高考題中會同樣出現；17題中以函數相結合利用函數性質求參數的取值班范圍，也是高考在不等式知識點出題的熱點。
18．【答案】A
19．【答案】B
20.【答案】A
21.【答案】D
【點評】18、19、20、21題為概率、統(tǒng)計、模塊內容，該模塊包含的內容比較多，一般高考會有1小1大兩道題，小題主要考查：頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數字特征、獨立性檢驗、幾何概型和古典概型、抽樣（特別是分層抽樣），所以應該引起足夠的重視。
22.【答案】B
23.【答案】B
【點評】22、23題考查的數列知識。如果不考大題，會考兩個小題，數列版塊在新課標的背景下要求降低，小題以考查數列概念、性質、通項公式、前n項和公式等內容為主，屬中低檔題。
24.【答案】C
25．【答案】B
26.【答案】A
【點評】解析幾何模塊主要考查：直線、圓及圓錐曲線的性質為主，一般結合定義，借助于圖形可容易求解，其中雙曲線幾乎是客觀題的必考內容,小題特別關注直線、圓、拋物線、雙曲線以及它們之間綜合。
27．【答案】C
28．【答案】A
29．【答案】B
【解析】 ， 在 處取最大值， ，即： ，
30．【答案】D
【解析】當 時， ，所以 。當 時， ，所以 ，即函數 為偶函數，且當 時，函數 單調遞增，所以 ，即 ，所以 ，選D.
【點評】函數與導數模塊，主要考查分段函數、初等函數的性質、函數的圖象、函數的零點、以及導數應用等，多個知識點綜合考查是熱點.
三．填空題（8道）
31. 【答案】
【解析】由題意知 . .所以
【點評】向量的填空題數量積是高考命題的一個重要方向，一般不是太難，重視基本運算。
32.
【點評】文科填空題函數和導數主要考查函數的性質和導數的切線問題。
33.【答案】
【點評】線性規(guī)劃多考常規(guī)題，不過現在常規(guī)題型高考都考過了，加點難度。
34.【答案】
點評：球的組合體是高考每年必考的知識點，題型不是選擇就是填空。
35.【答案】
【點評】幾何概型是高考常考的題型，文科線性規(guī)劃和幾何概型組合考查也要引起注意
36.【答案】300
【點評】推理與證明作為新課標的新增知識點，高考出現是必要的，此題考查了類比推理的應用。當然歸納推理也要掌握。
37.【答案】
【點評】解三角形是高考的重要組成部分，不在客觀題考查，就在解答題中出現，尤其2010年和2011年高考都作為填空題考查。解三角形所涉及的知識點要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等。
38.【答案】 2
【點評】2012年高考解答題考了拋物線，2013年解答題要考橢圓，填空題考查雙曲線或拋物線的定義性質
三．解答題（12道）
39. 【解析】
（1）
（2） ，
綜上
【點評】高考三角類解答題無非就是兩種，（1）三角函數題——考查三角函數的性質或圖像；（2）是解三角形，有點省份也會考解三角形的應用題。常常與向量結合出題。
40.【答案】（Ⅰ）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比數列
∴
∴
又∵ .
∴
（Ⅱ）∵ … ①
∴ 即 ，又 … ②
①－②：
∴
∴
【點評】新課標下對數列的考查要求降低，只對等差、等比數列通項和求和要求掌握。其中的一次些常規(guī)方法（錯位相減，倒序相加等）特別注意。
41.【答案】（Ⅰ） 甲同學成績的中位數是83，
,
乙同學的平均分是86分，
,
.
（Ⅱ）甲同學成績在［90，100］之間的試卷有二份，分別記為 ， ，
乙同學成績在［90，100］之間的試卷有三份，分別記為 ， ， ，
“從這五份試卷中隨機抽取兩份試卷”的所有可能結果為：
， ， ， ， ， ， ， ， ，共有10種情況，
記“從成績在［90，100］之間的試卷中隨機抽取兩份，恰抽到一份甲同學試卷”為事件 ，則事件 包含的基本事件為：
， ， ， ， ，共有6種情況
則 ，
從成績在［90，100］之間的試卷中隨機抽取兩份進行分析，恰抽到一份甲同學試卷的概率為 .
42. 【答案】
【點評】概率題主要考察莖葉圖、抽樣方法、直方圖、統(tǒng)計案例、線性回歸方程、概率等基礎知識，試題多考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力和應用意識。這里將其兩兩結合處理。
43.【答案】
(Ⅰ)證明： 為平行四邊形
連結 ， 為 中點，
為 中點∴在 中 //
且 平面 ， 平面
∴
(Ⅱ)證明：因為面 面 平面 面
為正方形， ， 平面
所以 平面
∴
又 ，所以 是等腰直角三角形，
且 即
，且 、 面
面 ．．．．．．．．．．．．７分
又 面 面 面 ．．．．．．．8分
【點評】空間幾何體的解答題一般以柱體或錐體為背景，考查線面、面面關系。去年新課標卷考的是柱體，今年預測為錐體。
44、【答案】
(1)由已知得 ∴ 方程：
(2)由題意可設直線 的方程為：
聯立 消去 并整理，得：
則△ ,
此時設 、 ∴
于是
又直線 、 、 的斜率依次成等比數列，
∴
由 得： .又由△ 得：
顯然 （否則： ，則 中至少有一個為0，直線 、 中至少有一個斜率不存在，矛盾�。�
設原點 到直線 的距離為 ,則
故由 得取值范圍可得△ 面積的取值范圍為
【點評】圓錐曲線大題一般以橢圓和拋物線為主，求標準方程、離心率為主，并結合向量、直線和其它知識點考查學生的綜合推理、運算能力。
45.【答案】
（Ⅰ）由焦點坐標為 可知
所以 ,
所以拋物線 的方程為 …4分
（Ⅱ）當直線垂直于 軸時， 與 相似，
所以 ,
當直線與 軸不垂直時，設直線AB方程為 ,
設 ， ， ， ，
解 整理得 ，
所以 ,
,
綜上
【點評】高考對圓錐曲線這部分主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的綜合應用能力，本小題涉及到直線與拋物線的相關知識以及圓錐曲線中面積求取知識的綜合知識. 本小題對考生的化歸與轉化思想、運算求解能力都有較高要求，但難度適中，計算量不大，符合作為文科壓軸題的特點.
46. 【答案】(Ⅰ) 由于 f ′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上單調遞減，在[a，＋∞)上單調遞增．
又f (0)＝1， f (a)＝－ a3－ a2＋1＝ (1－a)(a＋2) 2－1．
當f (a)≥－1時，取p＝a．
此時，當x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．
當f (a)＜－1時，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此時，當x∈[0，p]時有－1≤f (x)≤1成立．
綜上，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值為f (a)．
當0＜a≤1時，f (a)≥－1，則g(a)是方程f (p)＝1滿足p＞a的實根，
即2p2+3(1－a)p－6a＝0滿足p＞a的實根，所以g(a)＝ ．
又g(a)在(0，1]上單調遞增，故g(a)max＝g(1)＝ ．
當a＞1時，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝ (1－a)－1＜－1，故[0，p] [0，1]．
此時，g(a)≤1．
綜上所述，g(a)的最大值為 ．
47.【答案】(I) 的定義域為
令 ,其判別式
(1)當 時 , 故 在 上單調遞增
(2)當 時 , 的兩根都小于 ,在 上, ,
故 在 上單調遞增
(3)當 時 , 的兩根為 ,
當 時, ;當 時, ;當 時, ,故 分別在 上單調遞增,在 上單調遞減
亦即
再由(I)知,函數 在 上單調遞增,
而 ,所以 這與 式矛盾.
故不存在 ,使得
【點評】導數題似乎已經被默認高考解答題的最后一題（當然個別省份不是），一般以三次多項式函數、指數函數或對數函數為背景，考查導數在研究函數性質、研究不等式和方程問題中的綜合運用，考查點極為全面，上述兩題就有這樣的特點，同時作為文科題，考查的深度應該不如理科，運算量也不能太大。
48.【答案】(1) 延長 交圓 于點 ，連結 ，則 ，
又 ， ，所以 ，
又 ，可知 .
所以根據切割線定理 ，即 .
(2) 過 作 于 ，則 與 相似，
從而有 ，因此 .
【點評】本小題主要考查平面幾何的證明，圖形背景新穎，具體涉及到切割線定理以及三角形相似等內容，重點考查考生對平面幾何推理能力.
49.【答案】（Ⅰ） .
（Ⅱ）直線 的參數方程為 （ 為參數）,
代入 , 得到 ，
則有 .
因為 ，所以 ，解得 .
【點評】本小題主要考查極坐標與參數方程的相關知識，考查了極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及點到直線的距離等知識內容同時。
50.【答案】（1）f(x)＝|x－a|≤3，即a－3≤x≤a＋3．依題意，a－3≤－1，a＋3≥3．
由此得a的取值范圍是[0，2]．
（2）f(x－a)＋f(x＋a)＝|x－2a|＋|x|≥|(x－2a)－x|＝2|a|．
當且僅當(x－2a)x≤0時取等號．
解不等式2|a|≥1－2a，得a≥ 1 4．
故a的最小值為 1 4．
【點評】縱觀多年新課標高考題，絕大部分年份和省份的高考都以考查絕對值不等式的解法和性質為主，本小題不僅同時考查了絕對值不等式的解法和性質，并且題問作了相應的創(chuàng)新.
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