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2013～2014學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
故， …13分[]
所以數(shù)列的前n項和． ……14分
16. 解：（1）因為a·b =2 + sinθcosθ = , 所以sinθcosθ = ，所以（sinθ +cosθ2 = 1+2sinθcosθ = ．
又因為θ為銳角，所以sinθ + cosθ = ．因為a∥b，所以tanθ = 2，所以sin2θ = 2sinθcosθ = = = ，cos2θ = cos2θ-sin2θ = = = — ．所以sin(2θ+ ) = sin2θ + cos2θ = = ．（1）時，, ……2分
由圖象可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為． ……4分
（2），所以．……6分
當(dāng)，即時，； ……7分
當(dāng)，即時，． ……8分
． ……9分
（3）①當(dāng)時，圖象如圖1所示．
由得． ……12分
②當(dāng)時，圖象如圖2所示．
由得． ……14分
18. 解：（1）延長BD、CE交于點A，則，則．
． ……4分
（2）
……6分
當(dāng)，即時，
． ……8分
（3）令， ……10分
則，
，令得，， ……12分
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
，PQmax = 2， ……14分
此時，P點在B處，Q點在E處。 ……16分
19. 解：（1）由已知，，所以，
兩式相減得，，解得， ……3分
又，解得， ……5分
故 ……6分
（2）由（1），知 ……7分
①， ……8分
，
……10分
故 ……11分
②假設(shè)在數(shù)列中存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則，即． ……13分
因為成等差數(shù)列，所以，（）代入上式得： ，（）[]
由（），（），得，這與題設(shè)矛盾． ……15分
所以，在數(shù)列中不存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．
……16分
20. 解：（1） ……2分
函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，
所以． ……4分[學(xué)科]
（2）因為，所以， ……5分
因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以在（0，3）上有實數(shù)解，且無重根，，有=，（） ……6分
又當(dāng)時有， ……7分
綜上 ……8分
（3）∵，又，
∴，兩式相減，得，
∴, ……10分
于是
． ……11分
．
要證：，只需證：
只需證：．令，化為 即可．，…14分
在（0，1）上單調(diào)遞增， ……15分
，即．．
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